相加平均、相乗平均 - 明日はどっちだ

むかーし、中学だか高校でやった相加平均と相乗平均の関係って何の意味があるのかと思っていました。今でも「この式から何が解るん？」「何に使えるん？」って問いにはうまく答えられないのですが、

$(a - b)^2 \geq 0$ 　　　　 $a$ と $b$ は実数

って式から誘導されたものであることが、ある人のwebを見ていて最近解りました。それからこの式の存在意義というか、なんでこんな考えが出てきたのかスッキリしました。スバラシイ。

$(a - b)^2 \geq 0$ 　は展開すると

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$ 　になり、 $2ab$ の項を右辺に移行すると

$a^2 + b^2 \geq 2ab$ 　になる。さらに両辺を２で割り、右辺をちょっと細工すると

$\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2}$

$a^2$ も $b^2$ も任意の正の実数に置き換えることができるので、 $a^2$ を $x$ 、 $b^2$ を $y$ とすると

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$ 　になるんですね。

知らなかったことが１つ解るってことは楽しいことですね。今日は相加平均と相乗平均の関係だけじゃなくて、はてなでの数式の表し方も解ったので２重の収穫です。

バッテリー交換

最近、バイクのバッテリーが死んでました。プシュンとはいうもののぜんぜんセル回らないのね。これと寒いおかげでバイクで出かける機会がめっきり減ってました。
ま、バッテリーが死んでいても、幸いうちは山の上にあるので押しがけをせずに、下りながらエンジンかけられるのだけど出先がタイヘン。30分ほど走った後なら１度はセルが回るんだけど、そうでないと必ず押しがけ。
仕方がないので今日バッテリーを交換してきました。うんうん、すこぶる快調。