開平でーす！

こんぺーでーす！みたいなノリのタイトルですが、さっきとある人のホームページを見ていて平方根を求める式（筆算？）の意味が分かりました。すげー。頭いい人ってほんとにいるんだねぇ。
今の数学や理科教育で、こういうことを教えないで公式ばっかり覚えさせるのってホンマにどうなん、って思う。いや全員に教えなくてもいいから放課後にこういう豆知識講座というか、実は本質はこういうところにあるんだよって言う説明をしてくれる講座ってあったらおもしろかっただろうなぁ。
こういうことを知っていて、授業中に話ししてくれる人がいたら、数学ってもっとおもしろかったかも知れない。いや、自分でそれくらい気づくべきなのかも知れない。

例えば２桁の整数があったとして10の位がa、1の位がbとすると、その２乗は、
で表せる。
もっと大きな桁数の数字だと、a,b,c,d,…をそれぞれ別の桁と考えてみると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
これは変形すると
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
と書き直せる。
これを見ると、開平の式が見えてくる。図と対比して考えると、それぞれの項がどこを指しているか分かる。

筆算の図まで書いている時間がいま無いので省略するが、各項は筆算の脇で使う補助的な筆算でやっている計算そのものになる。
最終的に、このa,b,c,d,...がいくらになるかを求めると、平方根が求まることになる。実はこれを応用すると立方根でも求め方が分かってしまう…。すごく複雑なように思われますが、求め方は平方根と同じようにパターン化できるし、計算中、次はどんな数値にすべきかは割と予想がつきやすいです。
こういうことを、しかも図解付きで考えられる人って羨ましい。