直線の長さ

最近気になっていることがありまして、

一片が長さａの直角三角形のような図形があるとします。実線部分の長さは2aですよね。この直線を途中で折り返して

のようにします。このときも実線部分の長さは2aです。で、また同じように実践の真ん中で折り返すということを続けて…

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無限大に繰り返していくと実線部分は直線になってしまいます。この直線は長さaです。

たぶんフラクタルとか勉強するとわかるようになると思うのですが、コッホ曲線なんかとはちょっと毛色が違うような気がします。どういう式を立てれば、この直線の長さを求められるのでしょう？

もう１つ

一片の長さがaの住宅地が９つあってその間の通路はbという道幅である。
通常、角を直角に曲がると考えると、A地点からB地点に移動する距離は同じです。でもこれが実際の町中だと、最短距離で行こうと思うとして、以下の図のように斜めに進む人もいます。どれくらい短くなるのでしょう？

移動は壁際ギリギリにできるものとしてまっすぐ進んで直角に曲がって進むときは6a+4bですね。ちょっとズルをして斜めに進む方法をとると2a+4になります。
両者の差は6a+4b-2a-4＞0。
ちょっと整理すると、4a+4b-4＞0。
割ときれいな式になりましたね。

この式から何か得られる知見はないか。
全部4で割れるのでa+b-＞0。
だからa+b＞
うーん、何か掴めそうなんだけどなぁ。私にはここ止まりかな？

ps 実をいうと上の方のフラクタルっぽい問題は下の問題を考えていたときに頭をよぎりました。両方ともなんかおもしろそうなんだけど、私の頭ではここまで止まり。